الجبر الخطي الأمثلة

[\begin{matrix} 3 e^{t} & e^{2 t} 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

خطوة 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

2 \times 2

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب

e^{t}

$e^{t}$ في

e^{2 t}

$e^{2 t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

انقُل

e^{2 t}

$e^{2 t}$ .

3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2.1.2.3

أضف

2 t

$2 t$ و

t

$t$ .

3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2.1.3

اضرب

3

$3$ في

2

$2$ .

6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

خطوة 2.2.1.4

اضرب

e^{t}

$e^{t}$ في

e^{2 t}

$e^{2 t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.1

انقُل

e^{2 t}

$e^{2 t}$ .

6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

خطوة 2.2.1.4.2

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

خطوة 2.2.1.4.3

أضف

2 t

$2 t$ و

t

$t$ .

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

خطوة 2.2.2

اطرح

2 e^{3 t}

$2 e^{3 t}$ من

6 e^{3 t}

$6 e^{3 t}$ .

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

خطوة 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{matrix} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

خطوة 5

اضرب

\frac{1}{4 e^{3 t}}

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

[\begin{matrix} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

[\begin{matrix} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل

2

$2$ من

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

⎡ ⎣ \begin{matrix} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

[\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.3

اجمع

\frac{1}{2 e^{3 t}}

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ و

e^{2 t}

$e^{2 t}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.4

احذِف العامل المشترك لـ

e^{2 t}

$e^{2 t}$ و

e^{3 t}

$e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل

e^{3 t}

$e^{3 t}$ من

e^{2 t}

$e^{2 t}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أخرِج العامل

e^{3 t}

$e^{3 t}$ من

2 e^{3 t}

$2 e^{3 t}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.6

اجمع

$e^{2 t}$ و

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.7

احذِف العامل المشترك لـ

$e^{2 t}$ و

$e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.9

ألغِ العامل المشترك لـ

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

أخرِج العامل

$2$ من

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.9.2

أخرِج العامل

$2$ من

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.9.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.9.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.10

اجمع

$e^{t}$ و

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.11

احذِف العامل المشترك لـ

$e^{t}$ و

$e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.11.2.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

خطوة 6.12

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

خطوة 6.13

اجمع

$3$ و

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

خطوة 6.14

اجمع

$\frac{3}{4 e^{3 t}}$ و

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

خطوة 6.15

احذِف العامل المشترك لـ

$e^{t}$ و

$e^{3 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.15.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$3 e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

خطوة 6.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.15.2.1

أخرِج العامل

$e^{3 t}$ من

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

خطوة 6.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

خطوة 6.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$